Bài 6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Đề bài

Cho phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a + b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) có các hệ số \(a;b;c\), từ đó tính tổng \(a+b+c.\)

b) Thay \(x=1\) vào phương trình đã cho, nếu ta được một đẳng thức đúng thì \(x_1=1\) là một nghiệm của phương trình.

Đề bài

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(-5x^2+3x+2=0\)

b) \(2004x^2+2005x+1=0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm \({x_1}= 1\), còn nghiệm kia là \({x_2}=\dfrac{c}{a}.\)

+) Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\)  có \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1}= -1\), còn nghiệm kia là \({x_2}=\dfrac{-c}{a}\).  

Lời giải chi tiết

Đối với phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

LG a

\(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \)

Phương pháp giải:

1. Công thức tính \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

LG a

\({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

\({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -7, c = 12\)

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

LG a

\(4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\)

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

LG a

\(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

+) TH1: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\)

+) TH2: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = -1\), nghiệm còn lại là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\) 

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức  \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:

\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)\(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)

b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết