Bài 1 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho \(AM > MB.\) Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}- \overrightarrow{MB}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

\(+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).

\( + )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết

Trên đoạn thẳng \(AM\) ta lấy điểm \(M'\) để AM'=BM.

Ta thấy, AM'=MB và hai véc tơ \(\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow{AM'}= \overrightarrow{MB}\)

Như vậy \(\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AM'}= \overrightarrow{MM'}\) ( quy tắc 3 điểm)

Vậy \(\overrightarrow{MM'}= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) .

Ta lại có \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA}+ (- \overrightarrow{MB})\)

\(= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)

\(= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)

Vậy \(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA}.\)

Cách khác:

Trên đoạn MA, lấy điểm M'' sao cho MM'' = MB.

Ta có: MM''=MB và hai véc tơ \(\overrightarrow {MM''} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng nên:

\(\overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MM''}=\overrightarrow {M''M} \)

Do đó:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {M''M} \) \( = \overrightarrow {M''M}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {M''A} \).

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA} \) (quy tắc trừ).