Bài 6 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm: \(A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2)\).

Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\( + )\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB//DC\\
AB = DC
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.

\( + )\;\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD} \) \( \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật.

\( + )\;AB = AD \Rightarrow ABCD\) là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{DC}= (1; 7)\),  \(\vec{AD} = (-7; 1)\)

\(\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\)

Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) không cùng phương

\(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành  (1)

Ta có :

\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\
AD = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2
\end{array}\)

Suy ra \(AB = AD\), kết hợp với (1) suy ra \(ABCD\) là hình thoi (2)

Mặt khác \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{AD} = (-7; 1)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 1.( - 7) + 7.1 = 0\)

\( \Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\) nên \(AB\bot AD\) (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra \(ABCD\) là hình vuông.

Chú ý:

Các em cũng có thể đổi thứ thự chứng minh \(AB\bot AD\) lên trước suy ra HCN, rồi mới chứng minh AB=AD suy ra hình vuông cũng được.