Bài 49 trang 77 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm \(A\) và \(B\) ở hình dưới. Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm \(C\) để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng kết quả bài \(48.\)

Hai điểm \(M\) và \(N\) cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(xy.\)  Lấy điểm \(L\) đối xứng với \(M\) qua \(xy.\) Gọi \(I\) là một điểm của \(xy\) thì \(IM + IN ≥ LN.\)

Lời giải chi tiết

Ta có độ dài đường ống dẫn nước là \(CA + CB.\) 

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(xy\) (giả sử \(xy\) là bờ sông)

\( \Rightarrow\) \(xy\) là đường trung trực của \(AA'\) nên \(CA' = CA\) (Theo định lí 1).

Do đó, \(CA + CB = CA' + CB  ≥ A'B\) (áp dụng kết quả bài tập \(48\))

Nên \(CA + CB\) ngắn nhất khi \(C\) là giao điểm của \(A'B\) với \(xy.\)

Vậy điểm đặt trạm bơm là giao điểm của đường thẳng \(xy\) với đường thẳng qua điểm \(B\) và điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(xy.\)