Bài 63 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với \(AC < AB.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = AB.\) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = AC.\) Vẽ các đoạn thẳng \(AD, AE.\)

a) Hãy so sánh góc \(ADC\) và góc \(AEB.\)

b) Hãy so sánh các đoạn thẳng \(AD\) và \(AE.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(ΔABC\) có \(AC < AB\) (giả thiết)

 \(⇒ \widehat {ABC} < \widehat {ACB}\)  (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)  (1)

 \(ΔABD\) cân tại \(B\) vì \(AB = BD\) (giả thiết)

\(⇒ \widehat {ADB} = \widehat {DAB}\) (tính chất)

Mà \(\widehat {ABC}  =  \widehat {ADB} +  \widehat {DAB}\)  (góc ngoài tam giác)

⇒ \(\widehat {DAB}  =  \widehat {ADB} = \dfrac{\widehat {ABC}}{2} \)  (2)

\(ΔACE\) cân tại \(C\) vì \(CA = CE\) (giả thiết)

\(⇒ \widehat {CAE} = \widehat {CEA}\) (tính chất)

Mà \(\widehat {ACB}  =  \widehat {CAE} +  \widehat {CEA}\)  (góc ngoài tam giác)

⇒ \(\widehat {CAE}  =  \widehat {CEA} = \dfrac{\widehat {ACB}}{2}\)   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {ADB} < \widehat {AEC}\) 

hay \(\widehat {ADC} < \widehat {AEB}\)  (điều phải chứng minh).

b) Xét \(ΔADE\) có  \(\widehat {ADE} < \widehat {AED}\) (chứng minh ở phần a)

Mà \(AE\) là cạnh đối diện \(\widehat {ADE}\) và \(AD\) là cạnh đối diện \(\widehat {AED}\) 

\( \Rightarrow AE < AD\) (Quan hệ giữa góc - cạnh đối diện trong tam giác).