Bài 8 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\); đường phân giác \(BE\). Kẻ \(EH\) vuông góc với \(BC\) (\(H \in BC)\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(AB\) và \(HE.\) Chứng minh rằng:

a) \(∆ABE= ∆HBE.\)

b) \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH.\)

c) \(EK = EC.\)

d) \(AE < EC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng tính chất của tia phân giác.

- Áp dụng tính chất đường trung trực: các điểm các đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

- Áp dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

 a) Xét hai tam giác vuông \(∆ABE\) và \(∆HBE\), ta có:

+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do \(BE\) là phân giác của góc \(B\))

+) \(BE \) cạnh huyền chung

Vậy \(∆ABE = ∆HBE\)  (cạnh huyền-góc nhọn)

b) Vì \(∆ABE = ∆HBE\) (câu a)

 \( \Rightarrow  BA = BH, EA = EH\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow  E, B\) cùng thuộc trung trực của \(AH\) nên đường thẳng \(EB\) là trung trực của \(AH.\)

c) Xét \(∆AEK\) và \(∆HEC\), ta có: 

+) \(\widehat {EAK} = \widehat {EHC} = {90^0}\)

+) \(EA = EH\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(∆AEK = ∆HEC \) (g.c.g)

\( \Rightarrow   EK = EC\) (Hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh)

d) Trong tam giác vuông \(AEK\) ta có:

\(AE < EK\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà \(EC = EK\) (chứng minh trên)

Suy ra \(AE < EC\) (điều phải chứng minh).