Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).

a

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).

Phương pháp giải:

+ Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Qua B kẻ \(BD \bot SA\), chứng minh mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA là \((BCD)\).

+ Sử dụng công thức tỉ số thể tích: \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}.\dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\).

Lời giải chi tiết:

Vì hình chóp \(\displaystyle S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(\displaystyle H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy.

Do đó AH là hình chiếu của SA lên (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) bằng góc giữa SA và AH hay góc \(\displaystyle SAH = 60^0\).

Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle BC\) thì \(\displaystyle AM\) là đường cao của tam giác đều \(\displaystyle ABC\):

\(\displaystyle AM  = AB\sin {60^0}= {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\displaystyle AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\(\displaystyle SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \(\displaystyle {{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)

Xét tam giác vuông SBM ta có: \(\displaystyle SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  \) \( = \sqrt {\frac{{12{a^2}}}{9} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Qua B kẻ \(\displaystyle BD \bot SA\), khi đó ta có: 

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)

Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.

\(\displaystyle SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)

Xét tam giác vuông ADM có: \(\displaystyle DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\)

Xét tam giác vuông SDM có: \(\displaystyle SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}}  = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

\(\displaystyle {{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} \) \(\displaystyle = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)

b

b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).

Phương pháp giải:

Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) sau đó tính thể tích khối chóp \(S.DBC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0}\)= \(\displaystyle {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)

\(\displaystyle SH = AH.\tan 60^0 = a\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \( = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\(\displaystyle {V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)