Câu hỏi 5 trang 35 SGK Đại số và Giải tích 11

Dựa vào các công thức cộng đã học

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin(a – b) = sina cosb - sinb cosa;

cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và kết quả cos \({\pi  \over 4}\) = sin\({\pi  \over 4}\) = \({{\sqrt 2 } \over 2}\), hãy chứng minh rằng:

 a

sinx + cosx = √2 cos(x - \({\pi  \over 4}\));

Lời giải chi tiết:

sin⁡x + cos⁡x = √2.(\({{\sqrt 2 } \over 2}\) sin⁡x + \({{\sqrt 2 } \over 2}\) cos⁡x )

= √2.(sin⁡ \({\pi  \over 4}\) sin⁡x + cos⁡ \({\pi  \over 4}\) cos⁡x )

= √2.cos⁡(x - \({\pi  \over 4}\))

Cách khác:

√2 cos(x - π/4)

= √2.(cosx.cos π/4 + sinx.sin π/4)

= √2.(√2/2.cosx + √2/2.sinx)

= √2.√2/2.cosx + √2.√2/2.sinx

= cosx + sinx (đpcm)

 b

sin x – cosx = √2 sin(x - \({\pi  \over 4}\)).

Lời giải chi tiết:

sin⁡x - cos⁡x = √2.(\({{\sqrt 2 } \over 2}\) sin⁡x - \({{\sqrt 2 } \over 2}\) cos⁡x )

= √2.(cos⁡ \({\pi  \over 4}\) sin⁡x - sin⁡ \({\pi  \over 4}\) cos⁡x )

= √2.sin⁡(x - \({\pi  \over 4}\))

Cách khác:

√2.sin(x - π/4)

= √2.(sinx.cos π/4 - sin π/4.cosx )

= √2.(√2/2.sinx - √2/2.cosx )

= √2.√2/2.sinx - √2.√2/2.cosx

= sinx – cosx (đpcm).