Bài 4 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a

\(y = x^2 - x\sqrt x + 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}};\,\,\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\).

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = {x^2} - x\sqrt x + 1\\y' = \left( {{x^2}} \right)' - \left( {x\sqrt x } \right)' + \left( 1 \right)'\\y' = 2x - \left[ {\left( x \right)'\sqrt x  + x\left( {\sqrt x } \right)'} \right] + 0\\
y' = 2x - \left( {\sqrt x + x.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\\
y' = 2x - \sqrt x - \dfrac{{\sqrt x }}{2}\\
y' = 2x - \dfrac{{3\sqrt x }}{2}\\
\end{array}\)

b

\(y = \sqrt {(2 - 5x -  x^2)}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = \sqrt {2 - 5x - {x^2}} \\
y' = \dfrac{{\left( {2 - 5x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}\\y' = \dfrac{{\left( 2 \right)' - \left( {5x} \right)' - \left( {{x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}\\ y' = \dfrac{{0 - 5 - 2x}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}\\
y' = \dfrac{{ - 2x - 5}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}\\
\end{array}\)

c

\(y =  \dfrac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\,\,\left( {a = const} \right)\\y' = \dfrac{{\left( {{x^3}} \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - {x^3}\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - {x^3}.\dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} - {x^3}.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + {x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}{a^2} - 2{x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
\end{array}\)

d

\(y =  \dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\\y' = \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'\sqrt {1 - x}  - \left( {1 + x} \right).\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{1.\sqrt {1 - x}  - \left( {1 + x} \right).\dfrac{{\left( {1 - x} \right)'}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}\\
y' = \dfrac{{\sqrt {1 - x} - \left( {1 + x} \right)\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}\\
y' = \dfrac{{2\left( {1 - x} \right) + \left( {1 + x} \right)}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}\\
y' = \dfrac{{3 - x}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}
\end{array}\)