Bài 1 trang 23 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho các điểm \(A(-3;2), B(-4;5)\) và \(C(-1;3)\)

 a

Chứng minh rằng các điểm \(A'(2;3), B'(5;4)\) và \(C'(3;1)\) theo thứ tự là ảnh của \(A, B\) và \(C\) qua phép quay tâm \(O\) góc \( -90^{\circ}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa phép quay 

\({Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}\left( M \right) = M' \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OM' = OM\\
\left( {OM,OM'} \right) = \alpha
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Tương tự ta cũng có \({Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = B',\) \({Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( C \right) = C'\).

Chú ý:

Cách giải tham khảo (công thức mở rộng)

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay: Ảnh của điểm M(x;y) qua phép quay tâm O góc quay \(\alpha\) là điểm M'(x';y') với x';y' thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)

(hình bên) 

Phép quay tâm góc \(-90^0\) biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x';y') với \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \left( { - {{90}^0}} \right) - y\sin \left( { - {{90}^0}} \right) = y\\y' = x\sin \left( { - {{90}^0}} \right) + y\cos \left( { - {{90}^0}} \right) = - x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A'\left( {2;3} \right);\,\,B'\left( {5;4} \right);\,\,C'\left( {3;1} \right)\) lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O, góc quay \(-90^0\).

 b

Gọi tam giác \({A_{1}}\)\({B_{1}}\)\({C_{1}}\) là ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \(O\) góc \( -90^{\circ}\) và phép đối xứng qua trục \(Ox\). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác \({A_{1}}^{}\)\({B_{1}}^{}\)\({C_{1}}^{}\)

Phương pháp giải:

Thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay \(-90^0\) và phép đối xứng trục Ox trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Lời giải chi tiết:

(Hình 1.26)

Gọi tam giác \({A_{1}}^{}\)\({B_{1}}^{}\)\({C_{1}}^{}\) là ảnh của tam giác \(A'B'C'\) qua phép đối xứng trục \(Ox\).

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
{A_1} = {D_{Ox}}\left( {A'} \right) \Rightarrow {A_1}\left( {2; - 3} \right)\\
{B_1} = {D_{Ox}}\left( {B'} \right) \Rightarrow {B_1}\left( {5; - 4} \right)\\
{C_1} = {D_{Ox}}\left( {C'} \right) \Rightarrow {C_1}\left( {3; - 1} \right)
\end{array}\)

Vậy \({A_{1}}^{}\)(2;-3), \({B_{1}}^{}\) (5;-4), \({C_{1}}^{}\)(3;-1).