Bài 7 trang 46 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hàm số \(y = f(x) = 3x\). 

Cho \(x\) hai giá trị bất kì \( x_{1},\ x_{2} \) sao cho \(x_{1}  < x_{2} \) .

Hãy chứng minh \(f(x_{1} ) < f(x_{2} )\) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Định nghĩa hàm số đồng biến:   Với \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\):

     Nếu \( x_1  < x_2\)  và   \(f(x_1) < f(x_2)\)  thì hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Tính chất của bất đẳng thức: Với \(c > 0\) thì: \(a < b \Leftrightarrow a.c < b.c\)

Lời giải chi tiết

Ta có:  

\(f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2}\)

Theo giả thiết, ta có:

\(x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow 3.x_{1} < 3.x_{2}\) ( vì \( 3 > 0 \) nên chiều bất đẳng thức không đổi)

\( \Leftrightarrow f(x_1) < f(x_2)\) (vì \(f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1};\)\(f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2})\)

Vậy với \(x_{1} < x_{2}\) ta được \(f(x_1) < f(x_2)\) nên hàm số \(y = 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). 

Chú ý:

Ta cũng có thể làm như sau:

Vì \(x_{1}  < x_{2} \) nên \(x_{1}  - x_{2}<0\)

Từ đó: \(f(x_1)-f(x_2)=3x_1-3x_2=3(x_1-x_2)<0\) 

Hay \(f(x_1)<f(x_2)\) 

Vậy với \(x_{1} < x_{2}\) ta được \(f(x_1) < f(x_2)\) nên hàm số \(y = 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).