Câu hỏi 14

Điều kiện: \(\sin \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 6x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{6}\;\,(k \in \mathbb{Z}).\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\cot \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \cot \left( {6x - \frac{\pi }{2}} \right) = \cot \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow 6x - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k\pi }}{6}\,\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)

Nghiệm trên thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {18;\;20} \right] \Leftrightarrow 18 \le \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k\pi }}{6} \le 20\)

\( \Leftrightarrow 18 - \frac{{5\pi }}{{36}} \le \frac{{k\pi }}{6} \le 20 - \frac{{5\pi }}{{36}} \Leftrightarrow 33,54 \le k \le 37,36\)

Vậy phương trình có nghiệm lớn nhất trong \(\left[ {18;\;20} \right] \Leftrightarrow k = 37 \Rightarrow {x_{\max }} = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{37\pi }}{6} = \frac{{227\pi }}{{36}}.\)

Chọn D.