-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Câu hỏi 58
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho \(a,\;\,b,\,\;c\) là các số thực khác \(0,\,\;\;3b - 2c \ne 0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a,\,\;b,\,\;c\) để:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan ax}}{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}} = \frac{1}{2}\)
Phương pháp giải :
Biến đổi: \(\frac{{\tan ax}}{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}} = a.\frac{{\tan ax}}{{ax}}.\frac{x}{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}}\)
Tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan ax}}{{ax}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax.\cos ax}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos ax}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}}{x}\)
Lời giải chi tiết :
\(\frac{{\tan ax}}{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}} = a.\frac{{\tan ax}}{{ax}}.\frac{x}{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}}\)
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan ax}}{{ax}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{ax.\cos ax}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos ax}} = 1\) ;
Xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x}\;\left( {a\; \ne 0;\;n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) .
Đặt \(\sqrt[n]{{1 + ax}} = y \Leftrightarrow {y^n} = 1 + ax \Rightarrow x = \frac{{{y^n} - 1}}{a};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = 1\) \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x} = a\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{{y - 1}}{{{y^n} - 1}} = a\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{{y - 1}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {{y^{n - 1}} + ... + y + 1} \right)}} = a\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{1}{{\left( {{y^{n - 1}} + ... + y + 1} \right)}} = \frac{a}{n}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + bx} - 1} \right) - \left( {\sqrt[3]{{1 + cx}} - 1} \right)}}{x} = \frac{b}{2} - \frac{c}{3} = \frac{{3b - 2c}}{6}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan ax}}{{\sqrt {1 + bx} - \sqrt[3]{{1 + cx}}}} = \frac{{6a}}{{3b - 2c}}.\end{array}\)
Do đó hệ thức liên hệ là: \(\frac{{6a}}{{3b - 2c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{{3b - 2c}} = \frac{1}{{12}}\)
Chọn D.
Đáp án A:
\(\frac{a}{{3b - 2c}} = \frac{1}{{10}}\)
Đáp án B:
\(\frac{a}{{3b - 2c}} = \frac{1}{6}\
Đáp án C:
\(\frac{a}{{3b - 2c}} = \frac{1}{2}\)
Đáp án D:
\(\frac{a}{{3b - 2c}} = \frac{1}{{12}}\)