Câu hỏi 30

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(\left( {C'} \right) = \) Đ\(_d\left( C \right) \Rightarrow \left( {C'} \right)\) là đường tròn có tâm \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Tìm \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\).

Cách 1: Gọi \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\).

Bước 1: Dựng phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(I\) và vuông góc với \(d\).

\( \Rightarrow d':\,\,x - y + c = 0\).

Thay \(I:\,\,1 - \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 2 \Rightarrow t:\,\,x - y - 2 = 0\).

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên \(d \Rightarrow H = d \cap d'\).

\( \Rightarrow H\,\,\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;0} \right)\).

Bước 3: Do I, I’ đối xứng nhau qua \(d \Rightarrow H\) là trung điểm của II’

\( \Leftrightarrow I'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_H} - {x_I}\\y' = 2{y_H} - {y_I}\end{array} \right. \Rightarrow I'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.2 - 1 = 3\\y' = 2.0 - \left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3;1} \right)\).

Cách 2: Công thức giải nhanh: \(I' = I - 2nT\)

\(T = \dfrac{{x + y - 2}}{{{1^2} + {1^2}}} = \dfrac{{1 + \left( { - 1} \right) - 2}}{2} =  - 1\)

\( \Rightarrow I'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 1 - 2.1.\left( { - 1} \right) = 3\\y' =  - 1 - 2.1.\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3;1} \right)\).

Vậy phương trình \(\left( {C'} \right):\,\,\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\).

Chọn D.