Bài 41 trang 83 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Qua điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai cát tuyến \(ABC\) và \(AMN\) sao cho hai đường thẳng \(BN\) và \(CM\) cắt nhau tại một điểm \(S\) nằm bên trong đường tròn.

Chứng minh:  \(\widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn \((O)\) có:

+) \(\widehat A\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn \((O)\) chắn cung \(CN\) và \(BM\) \(\Rightarrow \widehat A = \dfrac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\)  (1)

+) \(\widehat {BSM}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn \((O)\) chắn cung \(CN\) và \(BM\) \(\Rightarrow \widehat {BSM}=\dfrac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\)   (2)

Cộng (1) và (2) theo vế với vế:

\(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM}\)\(=\dfrac{2sđ\overparen{CN}+(sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM)}}{2}=sđ \overparen{CN}\)         (3)

Mà \(\widehat {CMN}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CN\) \(\Rightarrow \widehat {CMN}=\dfrac{sđ\overparen{CN}}{2}\)           

\(\Leftrightarrow\) \(2\widehat {CMN}=sđ\overparen{CN}\).  (4) 

Từ (3) và (4) ta được:  \(\widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\) (đpcm).