Câu hỏi 25

Đặt \(CD = a \Rightarrow AB = 2a.\) Giả sử \(d\left( {S,AB} \right) = b.\)

Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(MNPQ\,\,\left( {N \in BC,\,P \in SC,\,Q \in SD} \right).\) \( \Rightarrow QP//CD\) 

Vì \(MQ//SA\) nên \(\dfrac{{QS}}{{QD}} = \dfrac{{MA}}{{MD}} = x = \dfrac{x}{1} \Rightarrow \dfrac{{QS}}{{QS + QD}} = \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{QS}}{{SD}}.\)

Vì \(QP//DC\) nên \(\dfrac{{QP}}{{DC}} = \dfrac{{QS}}{{SD}} = \dfrac{x}{{x + 1}} \Rightarrow QP = \dfrac{{ax}}{{x + 1}}.\)

Vì \(MN//AD//DC\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{MK}}{{AB}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{{x + 1}},\,\,\dfrac{{NK}}{{DC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{{MA}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{AB}} = \dfrac{{MA}}{{2AD}} = \dfrac{{xMD}}{{2AD}} = \dfrac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{MK + NK}}{{AB}} = \dfrac{{2 + x}}{{2\left( {x + 1} \right)}} \Rightarrow MN = \dfrac{{a\left( {2 + x} \right)}}{{x + 1}}.\end{array}\)

Hơn nữa \(\dfrac{{d\left( {Q,MN} \right)}}{{d\left( {S,AB} \right)}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{{x + 1}} \Rightarrow d\left( {Q,MN} \right) = \dfrac{b}{{x + 1}}.\)

Ta lại có \({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {S,AB} \right).AB = ab\) và

\({S_{MNPQ}} = \dfrac{{QP + MN}}{2}d\left( {Q,MN} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{\rm{ax}}}}{{x + 1}} + \dfrac{{a\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}}} \right)\dfrac{b}{{x + 1}} = \dfrac{{\left( {ax + a} \right)b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{a\left( {x + 1} \right)b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ab}}{{x + 1}}.\)

Vì \({S_{MNPQ}} = \dfrac{2}{3}{S_{SAB}} \Rightarrow \dfrac{{ab}}{{x + 1}} = \dfrac{2}{3}ab \Rightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}.\)

Chọn A.