Câu hỏi 20

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có TCĐ \(x =  - 1\), TCN: \(y = 1\) và có tâm đối xứng là \(I\left( { - 1;1} \right)\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là tiếp điểm;

       A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến \(\Delta \) với TCĐ, TCN;

       J, r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác IAB.

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \): \(y = y'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}}\)

Cho \(x =  - 1 \Rightarrow y = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( { - 1 - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}} = \dfrac{{{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}} \Rightarrow A\left( { - 1;\dfrac{{{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \Rightarrow IA = \left| {\dfrac{6}{{{x_0} + 1}}} \right|\)

Cho \(y = 1 \Rightarrow 1 = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow x = 2{x_0} + 1 \Rightarrow B\left( {2{x_0} + 1;1} \right) \Rightarrow IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\)

\( \Rightarrow IA.IB = 12,\,\,\forall {x_0} \ne  - 1\)

\({S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IA.IB = \dfrac{1}{2}\left( {IA + IB + AB} \right).r\)

\( \Rightarrow r = \dfrac{{IA.IB}}{{IA + IB + AB}} = \dfrac{{IA.IB}}{{IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} }}\)

\( = \dfrac{{12}}{{IA + IB + \sqrt {{{\left( {IA + IB} \right)}^2} - 24} }}\)

Ta có: \(IA + IB \ge 2\sqrt {IA.IB}  = 4\sqrt 3 \), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(IA = IB\)

Đặt \(IA + IB = t,\,\,t \ge 4\sqrt 3 \), ta có:

\(f\left( t \right) = t + \sqrt {{t^2} - 24}  \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} - 24} }} > 0,\,\,\forall t > 4\sqrt 3 \)

 \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {4\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Ta có: \(f\left( {4\sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow f\left( t \right) \ge 8\sqrt 3 ,\,\,\forall t \ge 4\sqrt 3  \Rightarrow \dfrac{{12}}{{f\left( t \right)}} \le \dfrac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\forall t \ge 4\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {r_{\max }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) khi và chỉ khi \(IA = IB = 2\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \Delta IAB\) vuông cân tại I có \(d\left( {I;\Delta } \right) = IH = \dfrac{{IA}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 6 \)

Chọn: C