Câu hỏi 18

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,AM \bot BC\\A'M \subset \left( {A'BC} \right),A'M \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle AMA' = {30^0}\).

Giả sử tam giác \(ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,BC = a\).

Tam giác \(AMA'\)  vuông tại \(A\)\( \Rightarrow A'M = \dfrac{{AM}}{{\cos \angle AMA'}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\cos {{30}^0}}} = a\).

Ta có:  \({S_{\Delta A'BC}} = \dfrac{1}{2}A'M.BC = 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.a.a = 8 \Leftrightarrow {a^2} = 16 \Leftrightarrow a = 4\).

Khi đó ta có: \(AA' = AM.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Vậy thể tíchcủa khối lăng trụ đã cho là: \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2.4\sqrt 3  = 8\sqrt 3 \).

Chọn D.