Câu hỏi 20

Gọi \(h = OO'\) là chiều cao của hình trụ.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Tam giác \(OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OH \bot AB\).

Lại có \(OO' \bot AB \Rightarrow O'H \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {O'AB} \right) \cap \left( {OAB} \right) = AB\\\left( {O'AB} \right) \supset O'H \bot AB\\\left( {OAB} \right) \supset OH \bot AB\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {O'AB} \right);\left( {OAB} \right)} \right) = \angle \left( {O'H;OH} \right) = \angle O'HO = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(OO'H\) có: \(O'H = \dfrac{{OO'}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}\) và \(OH = OO'.\cot {60^0} = \dfrac{h}{{\sqrt 3 }}\).

Tam giasc \(O'AB\) đều nên \(O'H = \dfrac{{O'A\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow O'A = \dfrac{{2O'H}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2.\dfrac{{2h}}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4h}}{3} = AB\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{2h}}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) có:

\(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{h}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + \left( {{{\dfrac{{2h}}{3}}^2}} \right)}  = \dfrac{{h\sqrt 7 }}{3} = R\)\( \Leftrightarrow h = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = \pi {R^2}h = \pi .{R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\sqrt 7 \pi {R^3}}}{7}\).

Chọn D