Bài 4 trang 140 sách giáo khoa Giải tích 12

Đề bài

Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tính biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

+) Chia các trường hợp của \(\Delta\):

TH1: \(\Delta  \ge 0\), sử dụng kết quả của định lí Vi-et đã biết.

TH2: \(\Delta  < 0\), gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), suy ra các nghiệm phức của phương trình bậc hai và tính tổng, tích các nghiệm phức đó.

Lời giải chi tiết

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

+) Trường hợp \(∆ < 0\),  gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó các nghiệm của phương trình là: 

\(\begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{z_2} = \dfrac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}\\= \dfrac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \dfrac{c}{a}\end{array}\)

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆ < 0\).