-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 4 trang 18 sách giáo khoa Hình học 12
Đề bài / Mô tả:
Xem lời gải và đáp án chi tiết cho bài 4 trang 18 sách giáo khoa Hình học 12
Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\)
Chứng minh rằng :
LG a
a) Các đoạn thẳng \(AF, BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \(AF\)).
Tương tự, \(A, B, F, D\) đồng phẳng và \(A, C, F, E\) đồng phẳng.
Gọi \(I\) là giao của \((AF)\) với \((BCDE)\). Khi đó \(B, I, D\) là những điểm chung của hai mặt phẳng \((BCDE)\) và \((ABFD)\) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \(E, I , C\) thẳng hàng.
Vậy \(AF, BD, CE\) đồng quy tại \(I\).
Vì \(BCDE\) là hình thoi nên \(EC\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường. \(I\) là trung điểm của \(AF\) và \(AF\) vuông góc với \(BD\) và \(EC\), do đó các đoạn thẳng \(AF, BD\), và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Cách khác:
Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.
B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)
⇒ BCDE là hình thoi
⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
LG b
b) \(ABFD, AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
b) Ta có tứ giác \(DCBE\) là hình thoi.
Do \(AI\) vuông góc \((BCDE)\) và \(AB = AC =AD = AE\) nên \(IB = IC= ID = IE\).
Từ đó suy ra hình thoi \(BCDE\) là hình vuông. Tương tự \(ABFD, AEFC\) là những hình vuông.
Cách khác:
Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.
\(\begin{array}{l}BO \bot AO \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} \\AO \bot OE \Rightarrow AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \end{array}\)
Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC
⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.