Bài 8 trang 49 sách giáo khoa Hình học lớp 12

Đề bài

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với \(6\) cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi các tiếp điểm và sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau của mặt cầu để chứng minh.

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện \(ABCD\) có mặt cầu tiếp xúc với cả \(6\) cạnh của tứ diện; tiếp xúc với \(AB, BC, CD,AD,AC,BD\) lần lượt tại \(M,N,P,Q,R,S\). Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:

\( \left\{\begin{matrix} AM= AR = AQ\\ BM= BN= BS\\ CN= CP= CR\\ DP = DQ = DS\\ \end{matrix}\right.\)

Ta chứng minh: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).

Ta có

\(AM + MB + CP + PD \)\(=AR+RC+BS+SD\)

\(= AQ + QD + BN + NC\)

Hay:  \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).