Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và hai điểm \(M_1\left( {1 + t;2 + t;3 + t} \right)\), \({M_2}\left( {1 + 2t;2 + 2t;3 + 2t} \right)\) di động với tham số \(t\). Hãy chứng tỏ ba điểm \({M_0},{M_1},{M_2}\) luôn thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ba điểm \({M_0},{M_1},{M_2}\) thẳng hàng nếu hai trong ba véc tơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} ,\overrightarrow {{M_0}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) cùng phương.

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là: \(\left\{ \matrix{x = 3 + 2t \hfill \cr y = 6 + 4t \hfill \cr z = 4 + t \hfill \cr} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y = 1 - t'\\z = 5 + 2t'\end{array} \right.\)

LG a

a) Hãy chứng tỏ điểm \(M(1; 2; 3) \) là điểm chung của \(d\) và \(d’\);

Phương pháp giải:

- Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\), nếu tìm được \(t\) thì \(M\) thuộc \(d\).

Tìm số giao điểm của mặt phẳng \((α): x + y + z - 3 = 0 \) với đường thẳng \(d\) trong các trường hợp sau:

LG a

\(\eqalign{
& a)\,\,d:\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr 
y = 3 - t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right. \cr } \)

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t  \\ y=-3+2t  \\ z= 1+3t \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

LG a

a) \((Oxy)\) ;

Phương pháp giải:

Cách 1:

Phương pháp viết phương trình hình chiếu \((d')\) của đường thẳng \((d)\) trên mặt phẳng \((P)\):

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) chứa \((d )\) và vuông góc với \((P\)).

Đề bài

Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau: \(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Tính khoảng cách giữa đường thẳng: \(\Delta :\left\{ \matrix{x = - 3 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.\) với mặt phẳng \((α)\) : \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).

LG a

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ;

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

Bước 2: Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

Đề bài

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gắn hệ trục tọa độ sao cho \(A(0;0;0), B(1;0;0); D(0;1;0), A'(0;0;1).\)

+) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương.

+) Viết phương trình các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\).