Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian

Cho hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1)\)

a

a) Chứng minh \(A, B, C, D\) là bốn đỉnh của một tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng bằng cách viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) dạng đoạn chắn và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\)

a

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh \(A \notin \left( {BCD} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đề bài

Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

+) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha)\).

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(-1 ; 2 ; -3)\), vectơ \(\vec a= (6 ; -2 ; -3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \matrix{x = 1 + 3t \hfill \cr y = - 1 + 2t \hfill \cr z = 3 - 5t. \hfill \cr} \right.\)

a

Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa điểm \(A\) và vuông góc với giá của \(\vec a\).

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng biết điểm đi qua và 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x - y + 2z +11 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\).

Lời giải chi tiết

Đề bài

Viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 4 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = - 3 + t'\\z = 4 - 5t'\end{array} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi tọa độ hai giao điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng theo tham số \(t,t'\).

- Lập hệ phương trình ẩn \(t,t'\) dựa vào điều kiện \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\).

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \);               (B) \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \);

(C) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \);                     (D) \(\overrightarrow b  \bot \overrightarrow c \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\)

Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:

(A) \((0 ; 1 ; 0)\)                      (B) \((1 ; 0 ; 0)\)

(C) \((1 ; 0 ; 1)\)                      (D) \((1 ; 1 ; 0)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Toạ độ điểm \(G\) là trung điểm của \(MN\) là:

(A) G \(\left( {{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}} \right)\) ;       (B) G \(\left( {{1 \over 4};{1 \over 4};{1 \over 4}} \right)\) ;

(C) G \(\left( {{2 \over 3};{2 \over 3};{2 \over 3}} \right)\) ;       (D) G \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Cho mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(0 ; 0 ; -1)\) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = (3 ; 0 ; 5)\).

Phương trình của mặt phẳng \((α)\) là:

(A) \(5x - 2y - 3z - 21 = 0\) ;

(B) \( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\) ;

(C) \(10x - 4y - 6z + 21 = 0\) ;        

(D) \(5x - 2y - 3z + 21 = 0\) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Gọi \((α)\) là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại \(3\) điểm \(M(8 ; 0 ; 0), N(0 ; -2 ; 0), P(0 ; 0 ; 4)\). Phương trình của \((α)\) là:

(A) \({x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 0\);

(B) \({x \over 4} + {y \over { - 1}} + {z \over 2} = 1\);

(C) \(x - 4y + 2z = 0\);

(D) \(x - 4y + 2z - 8 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đề bài

Cho đường thẳng \(△\) đi qua điểm \(M(2 ; 0 ; -1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (4 ; -6 ; 2)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(△\) là:

\((A)\left\{ \matrix{x = - 2 + 4t \hfill \cr y = - 6t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)               \((B)\left\{ \matrix{x = - 2 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr} \right.\);

Đề bài

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t'\\y = 5 + 6t'\\z = 7 + 8t'\end{array} \right.\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) d₁⊥ d₂               (B) d₁ // d₂

(C) d₁ ≡ d₂              (D) d₁ và d₂ chéo nhau.

Đề bài

Cho \((S)\) là mặt cầu tâm \(I(2 ; 1 ; -1)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((α)\) có phương trình : \(2x - 2y - z + 3 = 0\).

Bán kính của \((S)\) là:

(A) \(2\) ;        (B) \({2 \over 3}\);        (C) \({4 \over 3}\);        (D) \({2 \over 9}\) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là: \(R = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là: