Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Đề bài

Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C. Từ đó hãy tính mỗi cạnh góc vuông theo:

a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C;

b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.

\(\sin \alpha =\dfrac{cạnh\ đối}{cạnh\ huyền};\)         \(\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}\);

Đề bài

Trong ví dụ 4, hãy tính các cạnh \(OP;OQ\) qua côsin của các góc \(P\) và \(Q.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. 

Lời giải chi tiết

Tam giác \(OPQ\) vuông tại \(O\), ta có \(\widehat Q = 90^\circ  - \widehat P = 90^\circ  - 36^\circ  = 54^\circ .\)

Theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

\(OP = PQ.\cos \,P = 7.\cos 36^\circ  \approx 5,663\)  

Giải tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết rằng:

LG a

\(b=10cm;\ \widehat{C}=30^{\circ}\)

Phương pháp giải:

Giải tam giác vuông là đi tìm tất cả các yếu tố (góc và cạnh) chưa biết của tam giác đó.

+) Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì:

 \(b=a.\sin B = a . \cos C;\)                  \(b = c. \tan B = c. \cot C;\)

\(c=a.\sin C = a. \cos B;\)                    \(c=b.\tan C = b.\cot B\).  

Lời giải chi tiết:

 (H.a)

Đề bài

Một khúc sông rộng khoảng \(250m\). Một chiếc thuyền chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng \(320m\) mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc \(\alpha\) trong hình 32).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Dựng tam giác có các cạnh và góc thỏa mãn đề bài.

Đề bài

Trong hình 33, \(AC=8cm,\ AD=9,6cm,\ \widehat{ABC}=90^o,\ \)

\(\widehat{ACB}=54^o\) và \(\widehat{ACD}=74^o\). Hãy tính:

a) AB; 

b) \(\widehat {ADC}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(B\) thì: \(AB=AC. \sin C\).

b) Kẻ thêm đường cao để làm xuất hiện tam giác vuông (Kẻ \(AH ⊥ CD\))

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AH, BK và CI.

a. Chứng minh rằng: \(AI.BH.CK \)\(\,= AB.BC.CA.\cos A.\cos B.\cos C\)

b. Cho \(\widehat A = 60^\circ \) và \({S_{ABC}} = 160c{m^2}.\) Tính \({S_{AIK}}\)

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(∆AIC\) vuông tại I:

\(AI = AC.\cos A\)

Tương tự các tam giác AHB, BKC vuông,

ta có: \(BH = AB.\cos B; CK = BC.\cos C\)

Đề bài

Cho ∆ABC nhọn.

a. Chứng minh rằng : \(\sin A + \cos A > 1\)

b. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Biết \(\widehat B = 60^\circ ,\,\widehat C = 45^\circ ,\) đường cao \(AH = 6cm\). Tính \({S_{ABC}}\)

Lời giải chi tiết

a. Kẻ đường cao BK, khi đó ∆AKB vuông tại K.

\(\eqalign{  & \sin A = {{BK} \over {AB}};\,\cos A = {{AK} \over {AB}}  \cr  &  \Rightarrow \sin A + \cos A = {{BK + AK} \over {AB}} > 1 \cr} \)

Đề bài

Bài 1. Tính \(A = {\cos ^2}55^\circ  - \cot 58^\circ  + {{\tan 52^\circ } \over {\cot 38^\circ }}\)\(\, + {\cos ^2}35^\circ  + \tan 32^\circ \)

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo \(AC = 50cm\) và \(\widehat {BAC} = 30^\circ .\) Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Bài 1. Ta có:

\({\cos ^2}35^\circ  = {\sin ^2}55^\circ ;\cot 58^\circ  = \tan 32^\circ ;\cot 38^\circ  = \tan 52^\circ \)

Do đó: