Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)

Đề bài

Hãy chứng minh khẳng định trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Cho tam giác ABC thì \(|AB-AC|<BC<AB+AC\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác OAO’ ta có:

OA – O’A < OO’ < OA + O’A 

\( \Leftrightarrow R - r < OO' < R + r\)

Đề bài

Quan sát các hình 97a, b, c, d trên hình nào có vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ? Đọc tên các tiếp tuyến chung đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quan sát hình vẽ để trả lời

Lời giải chi tiết

Các tiếp tuyến chung của hai đường tròn là: 

Hình 97 a) m ; d₁; d₂

Hình 97 b) d₁; d₂

Hình 97 c) d

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OA\) và đường tròn đường kính \(OA\).

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

b) Dây \(AD\) của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở \(C\). Chứng minh rằng \(AC=CD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Cho hai đường tròn \((O;\ R)\) và \((O';\ r)\) với R>r. Nếu \(OO'=R-r\) thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

b) +) Nếu tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và có 1 cạnh là đường kính của đường tròn đó thì tam giác đó là tam giác vuông. 

Đề bài

Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...): 

a) Tâm của các đường tròn có bán kính \(1cm\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \((O;\ 3cm)\) nằm trên ...

b) Tâm của các đường tròn có bán kính \(1cm\) tiếp xúc trong với đường tròn \((O;\ 3cm)\) nằm trên ...

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai đường tròn \((O;\ R)\) và \((O';\ r)\). Khi đó: 

a) \((O;\ R)\) và \((O';\ r)\) tiếp xúc ngoài nếu \(OO'=R+r\);

b) \((O;\ R)\) và \((O';\ r)\) tiếp xúc trong nếu \(OO'=R-r > 0\).

Đề bài

Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc ngoài với nhau thì chúng quay ngược chiều nhau.

+) Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc trong với nhau thì chúng quay cùng chiều với nhau.

Lời giải chi tiết

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(OO’ = 13cm\). Dựng đường tròn (O; 12cm) và (O’; 5cm)

a. Chứng tỏ (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b. Vẽ đường kính AC của (O) và AD của (O’). Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(OO’ < R + R’ \;(13 < 12 + 5)\) nên đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b. Ta có: \(\widehat {ABC} = 90^\circ ,\) do đó:

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB = 6cm, AC = 8cm\), đường cao AH. Đường tròn (O) đường kính AH cắt AB tại D, đường tròn (O’) đường kính CH cắt AC tại E.

a. Chứng minh (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b. Chứng minh đường thẳng DE là tiếp tuyến của (O’).

Lời giải chi tiết

a. ∆ABC vuông tại A, ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  \)\(\;= \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\,\left( {cm} \right)\)

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài TT’ \((T ∈ (O), T’ ∈ (O’))\) cắt tiếp tuyến qua A tại B.

a. Chứng tỏ \(BT = BT’\)

b. Chứng minh ∆OBO’ vuông và \(TT' = 2\sqrt {RR'} \)

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(BT = BA\) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau).

Tương tự \(BT’ = BA ⇒ BT = BT’\)

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD (\(AB > AD\)). Vẽ đường tròn tâm A bán kính AD, đường tròn (A) cắt AB tại E. Vẽ đường tròn tâm B bán kính BE, đường tròn (B) cắt đường thẳng DE tại F. Chứng minh đường tròn (A; AD) và (B; BE) tiếp xúc với nhau và ba điểm F, B, C thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AB = AE + EB\; (d = R + R’)\)

\(⇒ (A; AD)\) và \((B; BE)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại E.

Đề bài

Cho đường tròn tâm K có đường kính BC. Gọi D là trung điểm của KC và I là tâm của đường tròn có đường kính BD.

a. Chứng tỏ hai đường tròn (K) và (I) tiếp xúc trong với nhau.

b. Qua B vẽ đường thẳng (không trùng với BC) cắt (K) và (I) lần lượt tại A và E. Chứng tỏ KA // IE và \({{CA} \over {DE}}\) không đổi.

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(IK = KB - IB \;(d = R - R’)\)

\(⇒\) Đường tròn (I) và (K) tiếp xúc trong với nhau.