Bài 1 trang 126 SGK Giải tích 12

a

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực \(R\)

Hàm số \(F(x)\) gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(K\) nếu \(∀x ∈ K\) ta có \(F’(x) = f(x).\)

b

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Sử dụng công thức: \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} } \)

Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (3x^3- 2x) lnx\)

Giải

Đặt \(\displaystyle u = lnx\Rightarrow u' = {1 \over x}\) 

\( \displaystyle v' = 3{x^3} - 2x \Rightarrow v = {3 \over 4}{x^4} - {x^2}. \)

Suy ra: 

\(\eqalign{
& \int {f(x)dx = ({3 \over 4}} {x^4} - {x^2})\ln x - \int ({{3 \over 4}} {x^3} - x)dx \cr 
& = ({3 \over 4}{x^4} - {x^2})\ln x - {3 \over {16}}{x^4} + {1 \over 2}{x^2} + C \cr} \)

Chú ý: 

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần dựa trên cơ sở định lí:

Nếu hai hàm số \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) có đạo hàm liên tục trên K thì :

\(\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} } \) (3)

Để tính nguyên hàm từng phần ta cần phân tích \(f(x)\) thành \(g(x).h(x)\),

- Chọn một nhân tử đặt bằng \(u\) còn nhân tử kia đặt là \(v’\)

- Tìm \(u’\) và \(v\),

- Áp dụng công thức trên, ta đưa nguyên hàm ban đầu về một nguyên hàm mới đơn giản hơn.