Bài 1 trang 30 sách giáo khoa Giải tích 12

LG a

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

\(y=\dfrac{x}{2-x}\).

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(y=y_0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).

- Đường thẳng \(x=x_0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x \over {2 - x}} =  + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {x \over {2 - x}} =  - \infty \) nên đường thẳng \(\displaystyle x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x \over {2 - x}} =  - 1;\)\( \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x \over {2 - x}} =  - 1\) nên đường thẳng \(\displaystyle y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

LG b

\(y=\dfrac{-x+7}{x+1}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty\) nên \(\displaystyle x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;\)\( \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1\) nên đường thẳng \(\displaystyle y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

LG c

\(y=\dfrac{2x-5}{5x-2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ + }} \dfrac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = - \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ - }} \dfrac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = + \infty\) nên đường thẳng \(\displaystyle x=\dfrac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \dfrac{2}{5};\)\( \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \dfrac{2}{5}\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(\displaystyle y=\dfrac{2}{5}\) làm tiệm cận ngang.

LG d

\(y=\dfrac{7}{x}-1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{7}{x} - 1} \right) = + \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\dfrac{7}{x} - 1} \right) = - \infty\) nên đường thẳng \(\displaystyle x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{7}{x} - 1} \right) = - 1;\)\( \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{7}{x} - 1} \right) = - 1\) nên đường thẳng \(\displaystyle y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.