Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12

Cho hàm số: \(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\) ( \(m\) là tham số) có đồ thị \((C_m).\)

a

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

Phương pháp giải:

Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: \(y'=0.\) Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình \(y'=0.\)

Lời giải chi tiết:

\(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1\) \((C_m).\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

Ta có: \(y' = -4x^3+ 4mx = -4x (x^2- m)\)

\(\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow -4x(x^2-m)=0\) \( \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right..\)

+) Với \(m ≤ 0\) thì \(y’\) có một nghiệm \(x = 0\) và đổi dấu \(+\) sang \(–\) khi qua nghiệm này.

Do đó hàm số có một điểm cực đại là \(x = 0\)

+) Với \(m>0\) phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.

Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là \(x = ± \sqrt m\) và có một điểm cực tiểu là \(x = 0\).

b

b) Với giá trị nào của m thì \((C_m)\) cắt trục hoành?

Phương pháp giải:

\((C_m)\) cắt trục hoành \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y=f(x)=0\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C_m)\) và trục hoành là: 

\(\begin{array}{l}
- {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
{x^2} - 2m + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
{x^2} = 2m - 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm \(x = ± 1\) với mọi m nên \((C_m)\) luôn cắt trục hoành.

Cách khác:

– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Ta có bảng biến thiên :

(C_m) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0

⇔ m ≤ \(\frac{1}{2}\)

Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)

- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; \( \pm \sqrt m \)

Ta có bảng biến thiên :

(C_m) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)² ≥ 0\( \Leftrightarrow m \ne 1\)

Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra (C_m) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.

c

c) Xác định m để \((C_m)\) có cực đại, cực tiểu.

Phương pháp giải:

Hàm số có cực đại và cực tiểu  \(\Leftrightarrow \) phương trình \(y'=f'(x)=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với \(m > 0\) thì đồ thị \((C_m)\) có cực đại và cực tiểu.