-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 10 trang 81 sách giáo khoa Hình học 12
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết cho bài 10 trang 81 sách giáo khoa Hình học 12
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1\).
LG a
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song với nhau.
Phương pháp giải:
Chọn hệ trục tọa độ hợp lý sau đó suy ra tọa độ các điểm của hình lập phương.
+) Lập phương trình mặt phẳng \((AB'D')\) đi qua ba điểm \(A,\, \, B', \, D'\) có VTPT \(\overrightarrow{n_1} \) và mặt phẳng \((BC'D)\) đi qua ba điểm \(B,\, \, C', \, D\) có VTPT \(\overrightarrow{n_2} .\)
+) Chứng minh hai mặt phẳng này song song ta cần chứng minh \(\overrightarrow{n_1} \) cùng phương \(\overrightarrow{n_2}. \)
Lời giải chi tiết:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có: \(O \equiv A,\;\;B \in Ox;\;D \in Oy,A'\in Oz.\)
Khi đó: \(A\left( {0;\;0;\;0} \right);\;\;B\left( {1;\;0;\;0} \right);\;C\left( {1;\;1;\;0} \right);\;D\left( {0;\;1;\;0} \right);\) \(A'\left( {0;\;0;\;1} \right);\;\;B'\left( {1;\;0;\;1} \right);\;C'\left( {1;\;1;1} \right);\;D'\left( {0;\;1;\;1} \right).\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB'} = \left( {1;\;0;\;1} \right);\overrightarrow {AD'} = \left( {0;\;1;\;1} \right);\) \(\overrightarrow {BC'} = \left( {0;\;1;\;1} \right);\) \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;1;\;0} \right).\)
Ta có: \( \left[{\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( { - 1; - 1;1} \right) = - \left( {1;\;1;\; - 1} \right).\)
Mặt phẳng \((AB’D’)\) đi qua \(A\) và có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}=(1;1;-1)\) \(\Rightarrow\) Phương trình mặt phẳng \((AB’D’)\) là: \(x+y-z=0.\)
\(\overrightarrow {BC'} = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {DC'} = \left( {1;0;1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\)
PT \(\left( {BC'D} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(x+y-z-1=0.\)
Xét phương trình hai mặt phẳng ta có:
\(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}} \) \(\Rightarrow \left( {AB'D'} \right)//\left( {BC'D} \right)\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)
Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:
Xét hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\), ta có \(BD // B'D'\) vì \(BB'D'D\) là hình chữ nhật, \(AD' // BC'\) vì \(ABC'D'\) là hình chữ nhật.
Do đó mặt phẳng \((AB'D')\) có hai đường thẳng cắt nhau \(B'D'\) và \(AD'\) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau \(BD\) và \(BC'\) của mặt phẳng \((BC'D)\). Vì vậy \((AB'D') // (BC'D)\)
LG b
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song nên \(d((AB'D'),(BC'D) ) = d(A, (BC'D)).\)
+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính.
Lời giải chi tiết:
Vì \((AB'D') // (BC'D)\) nên:
\(d((AB'D'),(BC'D) )=d(A,(BC'D))\) \( = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)