-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 11 trang 114 SGK Hình học 11
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết bài 11 trang 114 SGK Hình học 11
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
a) Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).
b) Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K\). Hãy tính độ dài \(IK\)
c) Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Chứng minh tam giác \(SCA\) và \(IKA\) đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tính \(IK\).
c) Chứng minh tam giác \(BKD\) có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) và chứng minh góc đó bằng \(90^0\).
Lời giải chi tiết
a) \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\).
Mà \(BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)\).
b) Xét tam giác \(ABD\) có \(AB=AD\) và góc \(A=60^0\) nên là tam giác đều.
Do đó \(AI={{a\sqrt 3 } \over 2}\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \)
\(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot CA\) nên tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\).
Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} \over 4}} \) \(=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}.\)
Xét \(\Delta SCA\) và \(\Delta IKA\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
A\,chung\\
\widehat {SCA} = \widehat {IKA} = {90^0}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta SCA \backsim \Delta IKA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\) \(\Rightarrow IK=\dfrac{AI.SC}{AS}=\dfrac{a}{2}.\)
c) Dễ thấy \(\Delta ABD\) đều nên \(BD = a \) \(\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BD\) nên \(\Delta BKD\) vuông tại \(K\).
Vậy \(\widehat{BKD}=90^{0}.\)
Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SA\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\IK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot BK\\SA \bot DK\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\
\left( {SAB} \right) \supset BK \bot SA\\
\left( {SAD} \right) \supset DK \bot SA
\end{array} \right.\\
\end{array}\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(BK\) và \(DK\) là góc \(\widehat{BKD}=90^{0}.\) (đpcm)