Bài 1.11 trang 14 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 - \cos x - \sin x\) là

A. \( - \dfrac{1}{2}\)                          B. \( - 1\)

C. \(1 - \sqrt 2 \)                   D. \( - \sqrt 2 \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.

Hàm số \(y=\cos x\) có \(\cos x\le 1\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(y=1-\cos x - \sin x\)

\(=1-(\cos x + \sin x)\)

\(=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]\)

\( =1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)

\( = 1 - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\( =1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)

Mà \(\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - \sqrt 2 \\
\Rightarrow 1 - \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge 1 - \sqrt 2
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(1-\sqrt 2 \) đạt được khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).

Đáp án C.

Chú ý:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.

Mà (cosx + sinx)² = 1 + sin2x ≤ 2.

Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)² bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.

Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.

Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.