Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình lập phương \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(\displaystyle a\). Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle A'B', N\) là trung điểm của \(\displaystyle BC\).

a

a) Tính thể tích khối tứ diện \(\displaystyle ADMN\).

Phương pháp giải:

Coi khối tứ diện ADMN có đỉnh M và đáy ADN. Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{ADMN}} = {V_{M.ADN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}}\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle M.ADN\). Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng \(\displaystyle a\) và diện tích đáy \(\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

b

b) Mặt phẳng \(\displaystyle (DMN)\) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi \(\displaystyle (H)\) là khối đa diện chứa đỉnh \(\displaystyle A, (H')\) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\displaystyle {{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}}\).

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng \((DMN)\), xác định hai phần khối đa diện cẩn tính thể tích .

Lời giải chi tiết:

Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \(\displaystyle (DMN)\).

Do \(\displaystyle (ABCD) // (A'B'C'D')\) nên \(\displaystyle (DMN)\) cắt \(\displaystyle (A'B'C'D')\) theo một giao tuyến song song với \(\displaystyle DN\). Ta dựng thiết diện như sau:

- Từ \(\displaystyle M\) kẻ đường thẳng song song với \(\displaystyle DN\), đường này cắt cạnh \(\displaystyle A'D'\) tại điểm \(\displaystyle P\) và cắt đường thẳng \(\displaystyle C'B'\) tại điểm \(\displaystyle Q\). Trong mặt phẳng \(\displaystyle (BCC'B')\) thì \(\displaystyle QN\) cắt cạnh \(\displaystyle BB'\) tại điểm \(\displaystyle R\); đa giác \(\displaystyle DNRMP\)  chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \(\displaystyle (DMN)\).

- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện \(\displaystyle ABNDPMR\). Ta có: \({V_{ABNDPMR}} = {V_{M.ABND}} + {V_{M.NRB}} + {V_{M.AA'PD}} \) \(= {V_1} + {V_2} + {V_3}\)

Hình chóp \(\displaystyle M.ABND\), có đường cao bằng \(\displaystyle a\), diện tích đáy là hình thang \(\displaystyle ABND\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 2} + a} \right).a = {{3{a^2}} \over 4}\)

Suy ra: \(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\displaystyle \Delta CND\) và \(\displaystyle \Delta A'PM\) đồng dạng (g.g) nên \(\displaystyle \frac{{A'P}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'P = \frac{1}{2}CN = \frac{a}{4}\)

Hình chóp \(\displaystyle M.AA'PD\) có chiều cao \(\displaystyle {a \over 2}\) và diện tích hình thang \(\displaystyle AA'PD\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 4} + a} \right).a = {{5{a^2}} \over 8}\)

Suy ra: \(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}\)

Ta có: \(\displaystyle \Delta A'PM = \Delta B'QM \Rightarrow B'Q = A'P\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{{B'R}}{{BR}} = \frac{{B'Q}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BR = \frac{{2a}}{3}\)

Diện tích tam giác \(\displaystyle NRB\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}\)

Hình chóp \(\displaystyle M.NRB\) có chiều cao \(\displaystyle {a \over 2}\) và diện tích đáy \(\displaystyle {{{a^2}} \over 6}\) nên:

\(\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}\)

\(\displaystyle {V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3} \) \(\displaystyle = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}\)

Thể tích phần còn lại là: \(\displaystyle {{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}\)

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: \(\displaystyle {{55} \over {89}}\)