Bài 12 trang 71 SGK Đại số 10

Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp.

a

Chu vi \(94,4m\) và diện tích là \(494,55m^2\)

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn theo thứ tự là \(x, \,y  \, \, (m), \, \, (0 < x< y )\)

Chu vi \(94,4m\) nên ta có:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: \({{94,4} \over 2}=47,2\)

Nên \(x+y=47,2\) (1)

Diện tích là \(494,55m^2\) nên ta có:

\(x.y = 494,55\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 47,2\\
xy = 494,55
\end{array} \right.\)

Theo định lí Vi-ét thì \(x, y\) là các nghiệm của phương trình:

\(X^2-47,2X + 494,55 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 15,7 \hfill \cr 
X = 31,5 \hfill \cr} \right.\)

Vậy chiều rộng là \(15,7m\), chiều dài là \(31,5m\).

Cách khác:

Từ x + y = 47,2 ⇒ x = 47,2 – y, thay vào phương trình x.y = 494,55 ta được:

(47,2 – y).y = 494,55

⇔ 47,2.y – y² = 494,55

⇔ y² – 47,2y + 494,55 = 0

⇔ y = 31,5 hoặc y = 15,7

Nếu y = 31,5 ⇒ x = 15,7 (loại vì x < y)

Nếu y = 15,7 ⇒ x = 31,5 (thỏa mãn).

Vậy hình chữ nhật có chiều dài bằng 31,5m và chiều rộng bằng 15,7m.

b

Hiệu của hai cạnh là \(12,1m\) và diện tích là \(1089m^2.\)

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào đề bài lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn theo thứ tự là \(x, \,y  \, \, (m), \, \, (x > y > 0; x > 12,1 )\)

Hiệu của hai cạnh là \(12,1m\) ta có: \(x – y = 12,1\) (1)

Diện tích là \(1089m^2\) nên ta có:

\(x.y = 1089\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 12,1\\
xy = 1089
\end{array} \right.\)

Từ (1) ⇒ x = 12,1 + y, thay vào (2) ta được:

(12,1 + y).y = 1089

⇔ y² + 12,1.y – 1089 = 0

⇔ y = 27,5 (t/m) hoặc y = –39,6 (loại)

⇒ x = 12,1 + 27,5 = 39,6

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 39,6m và chiều rộng 27,5m.

Cách khác:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 12,1\\
xy = 1089
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left( { - y} \right) = 12,1\\
x.\left( { - y} \right) = - 1089
\end{array} \right.\)

Do đó \(x\) và \(–y \) là các nghiệm của phương trình:

\(X^2– 12,1X – 1089 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = -27,5 \hfill \cr 
X = 39,6 \hfill \cr} \right.\)

Vậy chiều rộng là \(27,5m\); chiều dài là \(39,6m\).