Bài 1.3 trang 12 SBT đại số và giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

a

\(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le - 2\left| {\sin x} \right| \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2 \le 3 - 2\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow 1 \le 3 - 2\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| \le 3\end{array}\)

Vậy GTLN của hàm số \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\) là 3 đạt được khi

\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

GTNN của hàm số \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\) là 1 đạt được khi

\(\sin x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b

\(y = \cos x + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Sử dụng lý thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) để đánh giá biểu thức ở trên.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos x + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \dfrac{\pi }{6}\\ = \sqrt 3 \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\end{array}\)

Do \( - 1 \le \cos (x - \dfrac{\pi }{6}) \le 1\)

\( \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \cos (x - \dfrac{\pi }{6}) \le \sqrt 3 \)

Vậy hàm số \(y = \cos x + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) có GTLN là \(\sqrt 3 \) đạt được khi \(\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

GTNN là\( - \sqrt 3 \) đạt được khi \(\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

c

\(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Sử dụng lý thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) để đánh giá biểu thức ở trên.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\cos 2x\\ = \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2}\end{array}\)

Do \( - 1 \le \cos 2x \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 5 \le 5\cos 2x \le 5\\ \Leftrightarrow 1 - 5 \le 1 + 5\cos 2x \le 1 + 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 5}}{2} \le \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le \dfrac{{1 + 5}}{2}\\ \Leftrightarrow - 2 \le \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le 3\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\) có GTLN là \(3\)

đạt được khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

GTNN là \( - 2\) đạt được khi \(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

d

\(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow 0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow - 1 \le - {\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow 5 - \dfrac{1}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \le \sqrt {5 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \le \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy hàm số \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \) có GTLN là \(\sqrt 5 \) đạt được khi \( - {\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

GTNN là \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\) đạt được khi \( - {\sin ^2}2x = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1\)

\( \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).