Bài 13 trang 178 SGK Đại số và Giải tích lớp 11

Đề bài

Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\)

Lời giải chi tiết

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-∞, a)\)

Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\) nếu với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n \rightarrow - ∞\), ta có \(f(x_n) \rightarrow +∞\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty \)

Ví dụ:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{x^3}}}{{x + 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{x^2}.x}}{{x.\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{x^2}}}{{1 + \dfrac{1}{x}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)} \right]\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^2} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)} \right]=+\infty\)

Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{{x^3}}}{{x + 1}} =  + \infty \]