Bài 18 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

a) Xác định các hệ số \(a\) và \(b\), biết rằng hệ phương trình

\(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\)

có nghiệm là \((1; -2)\)

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2} - 1; \sqrt{2})\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)  Thay \(x=1,\ y=-2\) vào hệ ban đầu ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(a,\ b\).

Giải hệ mới ta tìm được  \(a,\ b\).

b) Thay \(x=\sqrt{2} - 1; y=\sqrt{2}\) vào hệ ban đầu ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(a,\ b\).

Giải hệ mới ta tìm được  \(a,\ b\).

Lời giải chi tiết

a) Hệ phương trình có nghiệm là \((1; -2)\) khi và chỉ khi \((1; -2)\) thỏa mãn hệ phương trình. Thay \(x=1,\ y=-2\) vào hệ, ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 3+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -8& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4 & & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=-4,\ b=3\) thì hệ có nghiệm là \((1; -2)\).

b) Thay \(x=\sqrt 2 - 1;\ y= \sqrt 2\) vào hệ phương trình đã cho, ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.\)

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2},\ b=-(2+ \sqrt{2})\) thì hệ trên có nghiệm là \((\sqrt 2 -1; \sqrt 2)\).