Bài 18 trang 96 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hai điểm \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là:

A. \(x^2+ y^2 + 8x + 6y + 12 = 0\) 

B. \(x^2+ y^2- 8x - 6y + 12 = 0\) 

C. \(x^2+ y^2- 8x - 6y - 12 = 0\)   

D. \(x^2+ y^2+ 8x + 6y - 12 = 0\)  

Lời giải chi tiết

+ Tâm đường tròn là trung điểm I của đoạn thẳng AB

A(1 ; 1) ; B(7 ; 5) ⇒ I(4; 3)

+ Bán kính đường tròn

\(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt {13} \)

⇒ đường tròn đường kính AB là:

\(\begin{array}{l}
{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {\sqrt {13} } \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9 - 13 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0
\end{array}\)

Cách khác:

Gọi \(M(x; y)\) là điểm thuộc đường tròn.

\(\overrightarrow {AM}  = (x - 1;y - 1);\)\(\overrightarrow {BM}  = (x - 7;y - 5)\)

Đường tròn đường kính \(AB\) thì \(\widehat {AMB} = {90^0}\).

Do đó \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {BM} \)

\(⇔ (x – 1)( x – 7) + (y – 1)(y – 5) = 0\)

\(⇔ x^2+ y^2- 8x - 6y + 12 = 0 \)

Vậy chọn B.