Bài 2 trang 11 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x-y+2=0\). Viết phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1:

Bước 1: Lấy hai điểm A, B bất kì thuộc đường thẳng d.

Bước 2: Gọi A'; B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Oy, tìm tọa độ điểm A'; B' (Ảnh của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục Oy là M'(-x;y)).

Bước 3: Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy là đường thẳng A'B'. Viết phương trình đường thẳng A'B'.

Cách 2: Sử dụng biểu thức tọa độ.

Gọi \(M'(x', y')\) là ảnh của \(M (x;y)\) qua phép đối xứng trục \(Oy\). Rút x, y theo x' và y' và thế vào phương trình đường thẳng d.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Cho x = 0 suy ra -y+2=0 hay y = 2.

Cho x = -1 suy ra -3.(-1)-y+2=0 hay y= -1.

Do đó ta được hai điểm \(A(0;2)\) và \(B (-1;-1)\) thuộc \(d\).

Gọi \(A'\) = \({D_{Oy}}(A)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = - {x_A} = 0\\
{y_{A'}} = {y_A} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)\)

\(B'\) = \({D_{Oy}} (B)\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = - {x_B} = 1\\
{y_{B'}} = {y_B} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {1; - 1} \right)\)

Khi đó ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy là đường thẳng A'B'.

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {3;1} \right)\) là VTPT của A'B'.

Mà A'B' đi qua A'(0;2) nên có phương trình:

3(x-0) + 1.(y-2) =0 hay 3x+y-2=0.

Cách 2:

Gọi M(x;y) bất kì thuộc d, \(M'(x', y')\) là ảnh của \(M (x;y)\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) nên M' thuộc d'.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\)

Ta có \(M\) thuộc \(d ⇔ 3x-y+2 =0\) \(⇔ -3x' - y' + 2=0\)

\( ⇔ M' \) thuộc đường thẳng \(d'\) có phương trình \(3x + y - 2 = 0\)