Bài 2 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

\(+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).

\( + )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MC} \) \( = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC} \)

\(= (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})\) \(+ (\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC}\))

\(ABCD\) là hình bình hành nên hai vec tơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) là hai vec tơ đối nhau nên: \(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\)

Suy ra \(\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\).

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

\(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}\)

\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC}\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\) \( = \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC} \)

\(=  (\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MD}) \)\(- (\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}).\)

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vec tơ đối nhau, cho ta: \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}.\)

Suy ra: \(\overrightarrow 0  = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} } \right) - \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

Vậy \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.\)