Bài 2 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

 a

\(y =  \dfrac{1}{1-x}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{{1 - x}}\\
\Rightarrow y'  = \dfrac{{ - \left( {1 - x} \right)'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}=  \dfrac{-({ - 1})}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow y''  =  - \dfrac{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}} \\=-\dfrac{{2\left( {1 - x} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\
\end{array}\)

 b

\(y =  \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,y = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - x} }}\\
\Rightarrow y'  =  - \dfrac{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}} =  - \dfrac{{\dfrac{{\left( {1 - x} \right)'}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}\\= - \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} = \dfrac{1}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}\\
\Rightarrow y''  = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \left[ {{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}} \right]'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}} \\=  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}.\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}}\\= - \dfrac{{3\left( {1 - x} \right).\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}} = \dfrac{3}{{4{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^5}}}\\
\end{array}\)

 c

\(y = \tan x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,y = \tan x\\
\Rightarrow y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Rightarrow y'' =  - \dfrac{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}} =  - \dfrac{{2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}}\\= \dfrac{{2\cos x\sin x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
y = \tan x\\
y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\\
y'' = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)'\\
= 2\tan x\left( {\tan x} \right)'\\
= 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
= \dfrac{{2\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}
\end{array}\)

 d

\(y = \cos^2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = {\cos ^2}x\\
\Rightarrow y' = 2\cos x\left( {\cos x} \right)'\\= - 2\cos x\sin x = - \sin 2x\\
\Rightarrow y'' = -(2x)'\cos 2x=- 2\cos 2x
\end{array}\)