Bài 2 trang 19 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc \( 90^{\circ}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy và dựa vào định nghĩa phép quay.

Lời giải chi tiết

* Ta có A(2; 0) thuộc tia Ox.

Gọi Q_(O,90º) (A) = B thì B thuộc tia Oy và OA = OB nên B(0 ; 2).

* Lấy \(A(2;0), B(0;2)\) thuộc \(d\)

Ta có: \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\)\( \Rightarrow B\left( {0;2} \right)\)

\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A'\)\( \Rightarrow A'\left( {-2;0} \right)\)

Do đó \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) biến đường thẳng \(AB\) thành đường thẳng \(BA'\) hay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(BA'\).

Mà \(B\left( {0;2} \right),A'\left( { - 2;0} \right)\) nên đường thẳng \(A'B\) có phương trình \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\)

\( \Leftrightarrow  - x + y = 2\) \( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) \( \Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) với \(ab \ne 0\).

Cách khác:

Gọi d' là ảnh của d qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\)

Dễ thấy A(2;0) thuộc d vì 2+0-2=0.

\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\)\( \Rightarrow B\left( {0;2} \right)\) thuộc d'.

Do \(d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( d \right)\) \( \Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\).

Mà \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là VTPT của d'.

d' đi qua B(0;2) và nhận (1;-1) làm VTPT nên có phương trình:

1(x-0)-1(y-2)=0 hay x-y+2=0.