Bài 2 trang 34 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;2)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x + y+ 1= 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\)

 a

Qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow v = (2;1)\)

Phương pháp giải:

\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \).

Ảnh của đường thẳng qua 1 phép tịnh tiến là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi A’, d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được \(A \in d\)

\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v  \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr   {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr}  \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} = 1 \hfill \cr   {y_{A'}} = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)\)

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow v }} \)

\(\Rightarrow d'//d\) hoặc d' trùng d

\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(3x + y + c = 0\)

\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A'\left( {1;3} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \) \(\Rightarrow 3 + 3 + c = 0 \).

\(\Leftrightarrow c =  - 6\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x + y - 6 = 0\).

 b

Qua phép đối xứng qua trục \(Oy\)

Phương pháp giải:

+) Phép đối xứng trục Oy biến điểm \(A\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - x;y} \right)\).

+) Tìm ảnh của đường thẳng d, ta lấy hai điểm A, B bất kì thuộc đường thẳng d, tìm ảnh A'; B' của hai điểm A, B qua phép đối xứng trục Oy, khi đó ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A'B'.

Lời giải chi tiết:

\({D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left( {1;2} \right)\)

Lấy điểm \(B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left( B \right) = B'\left( {0; - 1} \right)\).

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy \( \Rightarrow d' \equiv A'B' \)

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - 1; - 3} \right)\) nên A'B' nhận \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {3; - 1} \right)\) làm VTPT.

Mà A'B' đi qua B'(0;-1) nên phương trình đường thẳng d’ là:

\(3\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\)

 c

Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ

Phương pháp giải:

+) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến \(A\left( {x;y} \right)\)  thành \(A'\left( { - x;-y} \right)\).

+) Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng là 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

\({D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)\)

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({D_{\left( O \right)}}\) và O không thuộc d nên \( \Rightarrow d'//d \)

\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)\)

\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow c =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x + y - 1 = 0\).

 d

Qua phép quay tâm \(O\) góc \( 90^{\circ}\)

Phương pháp giải:

Ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc \(90^0\) là đường thẳng vuông góc với d.

Lời giải chi tiết:

\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right) \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - {y_A} = - 2\\
y' = {x_A} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)\)

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(x - 3y + c = 0\).

\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( { - 2; - 1} \right) \)

\(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow  - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .\)

\(\Leftrightarrow c =  - 1\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(x - 3y - 1 = 0\).

Cách khác:

Lấy A(-1;2) và B(0;-1) thuộc d và Q_(O;90º) biến A thành A’(-2; -1) biến B thành B’(1; 0).

Mà A, B thuộc d nên A’, B’ thuộc d’.

Vậy Q_(O;90º) biến d thành d’ qua hai điểm A’, B’

Do đó phương trình d’ là phương trình A'B'.

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {1; - 3} \right)\) là VTPT của d'.

Mà d' đi qua B'(1;0) nên có phương trình:

1(x-1)-3(y-0)=0 hay x-3y-1=0.