Bài 2 trang 40 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho \(AOB\) là tam giác cân tại \(O\) có \(OA = a\) và có các đường cao \(OH\) và \(AK.\) Giả sử \(\widehat {AOH} = \alpha. \) Tính \(AK\) và \(OK\) theo \(a\) và \(α.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng công thức lượng giác đối với góc nhọn ta có: \(sin \alpha =\frac{cạnh \, \, đối}{cạnh \, \, huyền}  \) và \(cos \alpha =\frac{cạnh \, \, kề}{cạnh \, \, huyền}\)

Lời giải chi tiết

TH1: \(\alpha < 45^0\)

Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) nên ta có \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha < 90^0 \)

Tam giác \(OKA\) vuông tại \(K\) nên ta có:

\(\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}}  \)

\(\Rightarrow AK = OA.\sin \widehat {AOK} \)\(\Rightarrow AK = a.\sin 2\alpha. \)

\(\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}}  \)

\(\Rightarrow OK = OA.cos\widehat {AOK} \)\(\Rightarrow OK = a.\cos 2\alpha .\)

TH2: \(\alpha > 45^0\)

Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) nên ta có \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha > 90^0 \)

Tam giác AKO vuông tại K có AO=a, \(\widehat {AOK} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - 2\alpha \)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}}\\ \Rightarrow AK = OA\sin \widehat {AOK}\\ = a\sin \left( {{{180}^0} - 2\alpha } \right) = a\sin 2\alpha \\\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}}\\ \Rightarrow OK = OA\cos \widehat {AOK}\\ = a\cos \left( {{{180}^0} - 2\alpha } \right) =  - a\cos 2\alpha \end{array}\)