Bài 21 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

a) Cho tam giác \(ABC\) với đường trung tuyến \(AM\) và đường phân giác \(AD\). Tính diện tích tam giác \(ADM\), biết \(AB= m, AC= n\;( n>m)\) và diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S\).

b) Cho \(n = 7cm, m = 3cm\). Hỏi diện tích tam giác \(ADM\) chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: Tính chất đường phân giác trong tam giác. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC\) (gt) nên

\(\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác của tam giác)
\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}\) (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A) 

Nên \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n}\) 

\(\eqalign{
& \Rightarrow  {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} = {n \over m} \cr
& \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} + 1 = {n \over m} + 1 \cr
& \Rightarrow {{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}} \over {{S_{ABD}}}} = {{n + m} \over m} \cr} \)

\( \Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \dfrac{m}{n+m}\) 

hay \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m}\) 

\( \Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}\)

Vì \(AM\) là trung tuyến của \(∆ABC\) (gt) \(\Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\).

Có \(AB < AC( m<n)\) vì \(AD\) là đường phân giác, \(AM\) là đường trung tuyến kẻ từ \(A\) nên \(AD\) nằm giữa \(AB\) và \(AM\).

\( \Rightarrow S_{ADM}= S_{ABM}- S_{ABD}\)

\( \Rightarrow S_{ADM} = \dfrac{1}{2}S -\dfrac{m}{n+m}S \)\(\,= \dfrac{S(m+n-2m)}{2(m+n)}\)

\(S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)}\) (với \(n>m\))

b) Khi \(n = 7cm, m = 3cm\) ta có:

\({S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{{20.S }}{100} \)\(\,= 20\% S\)

Vậy \(S_{ADM} = 20\%S_{ABC}\).