Bài 26 trang 16 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

a) So sánh \( \sqrt{25 + 9}\) và \( \sqrt{25} + \sqrt{9}\);

b) Với \(a > 0\) và \(b > 0\), chứng minh \( \sqrt{a + b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai:

\(a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\),   với \(a,\ b \ge 0\).

+) Sử dụng các công thức: với \(a ,\ b \ge 0\) , ta có:

 \((\sqrt{a})^2=a\). 

 \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 

\(+)  \sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\).

\(+)  \sqrt{25} + \sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3\)

\(=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}\).

Vì \(34<64\) nên \(\sqrt{34}<\sqrt{64}\)

Vậy \(\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}\)

b) Với \(a>0,b>0\), ta có

\(+)\, (\sqrt{a + b})^{2} = a + b\).

\(+) \,(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}= (\sqrt{a})^2+ 2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt{b})^2\)

 \( = a +2\sqrt{ab}  + b\)

 \(=(a+b) +2\sqrt{ab}\). 

Vì \(a > 0,\ b > 0\) nên \(\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0\)

\(\Leftrightarrow (a+b) +2\sqrt{ab} > a+b\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{ b})^2 > (\sqrt{a+b})^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) (đpcm)