Bài 27 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(E, F, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, BC, AC.\)

a) So sánh các độ dài \(EK\) và \(CD, KF\) và \(AB.\)

b) Chứng minh rằng \(EF  ≤ \dfrac{AB+CD}{2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

- Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

- Định lí: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(∆ACD\) có \(E, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, AC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow EK\) là đường trung bình của \(∆ACD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow EK = \dfrac{CD}{2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

- Xét \(∆ABC\) có \(K, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC, BC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow FK\) là đường trung bình của \(∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow KF = \dfrac{AB}{2}\)  (tính chất đường trung bình của tam giác).

b) TH1: Ba điểm \(E, K, F\) không thẳng hàng

Xét \(\Delta EFK\) có: \(EF  < EK + KF\) (bất đẳng thức tam giác)

Nên \(EF < EK + KF = \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2} \)\(\,= \dfrac{AB+CD}{2}\)

Hay \(EF < \dfrac{AB+CD}{2}\) (1)

TH2: Ba điểm \(E, K, F\) thẳng hàng

Khi đó:  \(EF = EK + KF = \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2} \)\(\,= \dfrac{AB+CD}{2}\)

Hay \(EF = \dfrac{AB+CD}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF \le \dfrac{AB+CD}{2}\).