Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha)\) cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\). Một đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(A\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\);

b) Mặt phẳng \((ABD)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\);

c) \(HK//BC\) với \(H\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của \(DB\) và \(DC\) với mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB\bot BC\) (1)

\(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) nên \(AD\bot BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC\bot (ABD)\) suy ra \(BC\bot BD\)

\(\left. \matrix{
(ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr
BD \bot BC \hfill \cr
AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \)

\(\Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(BA\)

Mà \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \bot AB\) \( \Rightarrow \widehat {ABD} < {90^0}\)

Vậy \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\).

b)

\(\left. \matrix{
BC \bot (ABD) \hfill \cr
BC \subset (BCD) \hfill \cr} \right\}\) \( \Rightarrow (ABD) \bot (BCD)\)

c) Do (P) đi qua A, H, K nên mặt phẳng \(\left( P \right) \equiv \left( {AHK} \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\) nên \(HK\bot BD\)

Trong \((BCD)\) có: \(HK\bot BD\) và \(BC\bot BD\) nên suy ra \(HK// BC\).

Chú ý:

Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng (P) như sau:

Trong (DAB), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DB cắt DB tại H.

Trong (DBC), kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với DB cắt DC tại K.

Từ đó ta có (P) chính là (AHK).