Bài 3 trang 45 SGK Hình học 10

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có  đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).

a

Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\);

Phương pháp giải:

Sửa dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý: \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\]

Lời giải chi tiết:

AB là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\)

Ta có: \({\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right) \)

\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {BM} \) (do AM\(\bot\) MB) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM}  = 0\) 

Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}+0 \) \(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AN} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {AN} \) (vì BN \(\bot\) NA) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN}  = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  =  \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}+0 \)\(=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\).

b

 Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả câu a suy ra đáp án, chú ý \[\overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\]

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr &  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)