Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

 a

\(3^n> 3n + 1\)

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(3^k> 3k + 1\)         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:

\(3^{k+1} > 9k + 3 \)

\(\Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \(3^n> 3n + 1\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

Cách khác:

+ Với n = 2 thì bđt ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng với n = k ≥ 2, tức là 3^k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3^{k+ 1} > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3^{k + 1} = 3.3^k > 3.(3k + 1) (Vì 3^k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

 b

\(2^{n+1} > 2n + 3\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 2\) thì \({2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(2^{k+1} > 2k + 3\)          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \)

\(\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \)

\(\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{k + 2}}> 2k + 5\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

Cách khác:

+ Với n = 2 thì bđt ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2^k+2 > 2(k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2^{k + 2} = 2.2^{k + 1}

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3

(Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.